Una visión general del álgebra lineal desde una perspectiva global los fundamentos

Visión general del álgebra lineal desde una perspectiva global

Pensamos sin base, la escribimos sin base, pero cuando las cosas se complican cerramos la puerta de la oficina y calculamos con matrices como furia.

Una vista aérea de un campo. Imagen creada con midjourney

El álgebra lineal es una disciplina fundamental que subyace a todo lo que se puede hacer con Matemáticas. Desde la Física hasta el aprendizaje automático, la teoría de la probabilidad (por ejemplo, las cadenas de Markov), lo que sea. No importa lo que estés haciendo, el álgebra lineal siempre está acechando bajo las cubiertas, listo para saltar sobre ti tan pronto como las cosas se vuelven multidimensionales. En mi experiencia (y he oído esto de otros), esto fue la fuente de un gran shock entre la escuela secundaria y la universidad. En la escuela secundaria (India), me expusieron a un álgebra lineal muy básica (principalmente determinantes y multiplicación de matrices). Luego, en la educación universitaria de ingeniería, de repente parece que cada asignatura asume que tienes competencia en conceptos como los valores propios, los jacobianos, etc., como si se supusiera que naciste con el conocimiento.

Este blog pretende proporcionar una descripción general de alto nivel de los conceptos y sus aplicaciones obvias que existen y son importantes de conocer en esta disciplina. Para que al menos sepas lo que no sabes (si es que hay algo). También es una excusa para recopilar recursos y enlaces para que las personas puedan profundizar en el agujero del conejo.

I) Espacios vectoriales

Como se mencionó en la sección anterior, el álgebra lineal inevitablemente surge cuando las cosas se vuelven multidimensionales. Comenzamos con un escalar, que es simplemente un número de algún tipo. Para este artículo, consideraremos números reales y complejos para estos escalares. En general, un escalar puede ser cualquier objeto donde las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división estén definidas (abstractas como un “campo”). Ahora, queremos un marco para describir colecciones de tales números (agregar dimensiones). Estas colecciones se llaman “espacios vectoriales”. Consideraremos los casos en los que los elementos del espacio vectorial son números reales o complejos (siendo el primero un caso especial del segundo). Los espacios vectoriales resultantes se llaman “espacios vectoriales reales” y “espacios vectoriales complejos”, respectivamente.

Las ideas del álgebra lineal son aplicables a estos “espacios vectoriales”. El ejemplo más común es tu suelo, tu mesa o la pantalla de la computadora en la que estás…

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