Teoría de Recursos Donde las Matemáticas se Encuentran con la Industria.

Resource Theory Where Mathematics Meets Industry.

Foto: Zhang Fengsheng via Unsplash

En mi introducción a la Teoría de Categorías, mencioné que una de sus aplicaciones es la Teoría de Recursos. La Teoría de Categorías es increíblemente joven y abstracta, con una gran variedad de campos a los que se puede aplicar para mejorar la comprensión. La Teoría de Recursos es aún más joven y solo se ha formalizado recientemente en dos artículos publicados en 2014 y 2015 (enlazados al final). Veamos la Teoría de Recursos específicamente y cómo se puede aplicar a problemas modernos.

Muchos campos se basan en la conversión de una sustancia en otra, incluyendo la química, la industria de la energía, la teoría de la computación, la comunicación y la termodinámica. El resultado final es un producto hecho de recursos. Hay muchas preguntas que podemos hacer acerca de esta conversión. ¿Qué conversiones son posibles? ¿Con qué rapidez ocurren estas conversiones? ¿Cuáles son los productos de desecho creados? La Teoría de Recursos tiene como objetivo definir exactamente la mecánica de las conversiones y puede llevar a responder estas preguntas muy importantes.

Solo una nota, la Teoría de Recursos se vuelve muy compleja rápidamente. Hay mucha notación desconcertante involucrada para un concepto aparentemente simple. En esta publicación, solo esbozaré las definiciones básicas. Pero para los lectores que quieran profundizar, tengo una lista de lecturas recomendadas al final con mucho más detalle.

Teoría

Comencemos estableciendo algunos componentes comunes de todas estas conversiones. Todas implican transformar un conjunto de recursos en un conjunto de productos. Cada recurso tiene algunos productos que puede hacer y otros que no puede hacer. Estas transformaciones deberían ser componibles, es decir, si podemos convertir A en B y B en C, entonces deberíamos poder convertir A en C a través de múltiples pasos. Todas estas ideas pueden ser modeladas por una categoría monoidal simétrica. Esa es una expresión complicada, veamos qué es y demos un ejemplo.

Definimos una categoría monoidal simétrica como (S, >, I, *). Estas son muchas estructuras, iré por cada una por turno.

S es simplemente el conjunto de todos los objetos que nos interesan. Si estamos aplicando esta estructura a un problema químico, puede ser todas las sustancias químicas a las que tenemos acceso, así como las que deseamos crear. Esto es como el conjunto matemático estándar.

> define un orden en S. Podría simplemente listar las propiedades del orden, pero creo que es más intuitivo dar un ejemplo.

Figura 1: Un ejemplo de orden (Imagen de autor)

¿Cómo interpretamos este diagrama en términos de >? Al mirar la Figura 1, vemos que hay una flecha de A a B, por lo que A > B. También podemos compilar flechas, por lo que A > C y A > D. No los incluí en la Figura 1, pero cada punto también tiene una flecha yendo a sí mismo, por lo que A > A, B > B, etc. También es posible que A > B y B > A si hubiera dibujado una flecha que va de B a A.

¿Cuál es la interpretación de esto? Es bastante simple, si A > B, entonces podemos convertir A en B mediante un proceso. Note que C y D no pueden ser convertidos en nada (además de ellos mismos), están atrapados en su estado actual. Dado que A > A, podemos convertir A en A mediante un proceso trivial. Dado que las flechas se pueden combinar, sabemos que A > B y B > C significa que A > C. Esto tiene sentido cuando pensamos en la composición. En resumen, los objetos contenidos en > nos dicen qué objetos en S se pueden convertir en otros objetos en S.

Ahora vamos a hablar de I y *. Estas partes nos hablan sobre el acto real de realizar un proceso para convertir elementos en otro. * es una operación binaria que actúa como A * B = C. Esta operación representa la conversión real de A y B en C. I es simplemente el “recurso neutral” donde A * I = I * A = A para todos los elementos. De nuevo, hay muchas propiedades necesarias para esta operación, pero hay una que es significativamente más importante y que sirve para conectar * y >.

Esta propiedad se llama monotonía, y se define como A1 > B1, A2 > B2, significa que A1 * A2 > B1 * B2. Podemos pensar en esta propiedad como “si podemos convertir A1 en B1 y A2 en B2, entonces podemos convertir la combinación de A1 y A2 en la combinación de B1 en B2“. Pensar de esta manera es intuitivo para la Teoría de Recursos, pero necesita ser formalizado en las matemáticas.

Aplicaciones

Ahora tenemos una estructura matemática que formaliza nuestros pensamientos. Hay muchas características adicionales que podemos agregar para obtener un control en los escenarios del mundo real. Por ejemplo, ¿qué pasa si queremos considerar el tiempo que lleva cada combinación? Podríamos tener una función de tiempo T que toma dos elementos donde T (A, B) da el tiempo que lleva realizar la combinación de A * B. Luego podríamos buscar minimizar la suma de los valores de T para todas las combinaciones que realizamos.

La Teoría de Recursos se ha vuelto cada vez más importante para proporcionar un marco para el aprendizaje automático. A menudo en el aprendizaje automático, hay un valor que estamos tratando de maximizar. Una empresa puede querer convertir el recurso A en el recurso B de la manera más eficiente posible. Arriba, definí una función T que puede calcular el tiempo requerido para convertir entre dos objetos. Podemos definir funciones similares para muchas variables como costo y espacio. Usando una técnica de aprendizaje automático como una red neuronal, podemos encontrar la mejor disposición de conversiones para ser la configuración más eficiente. La Teoría de Recursos proporciona una estructura consistente para alimentar estos algoritmos de aprendizaje.

También hay una relación significativa entre la Teoría de Recursos y la Teoría de la Información, vista a través del trabajo de Claude Shannon. No entraré en los detalles aquí, pero encontrará más información en los siguientes enlaces.

¡Espero que hayas tenido un vistazo al poder de la Teoría de Recursos! En este artículo, solo cubrí lo básico. Hay tantos caminos más para llevar lo que hemos establecido aquí a aplicar esta estructura a más campos. Aquí hay algunos enlaces para que comiences a aprender más.

  • Una teoría matemática de los recursos – Uno de los documentos fundacionales, este trabajo desarrolla la Teoría de los Recursos desde cero. También introduce un método de visualización muy útil que puede ayudar inmensamente.
  • Convertibilidad de Recursos y Monoides Conmutativos Ordenados – Otro documento fundamental. Este es considerablemente más largo y detallado. Encontré el primero mucho más fácil de entender, pero este artículo ciertamente tiene buena información.

Si ambos artículos fueron demasiado formales para ti, te recomiendo leer este conjunto de conferencias. Utiliza el fantástico libro Siete Bosquejos, que también recomendé en mi artículo sobre Teoría de Categorías. Si estás interesado en aprender más sobre cómo la Teoría de los Recursos se relaciona con el Aprendizaje Automático, entonces consulta este artículo muy legible para obtener más información sobre la teoría detrás de ella.

¡Gracias por leer! Deja un comentario si tienes algún pensamiento o pregunta sobre este artículo.

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