Las Pruebas Asistidas por Computadora Abordan el Flujo de Fluidos

Las Pruebas Asistidas por Computadora en Fluidos

Crédito: Photoneye

Investigadores han estado resolviendo numéricamente las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan fenómenos fluidos importantes como el clima, los plasmas de fusión y la aerodinámica. Por supuesto, la precisión de los resultados siempre está limitada por la precisión finita y la resolución espacial de las representaciones de las ecuaciones en la computadora.

Las computadoras también se han convertido en una poderosa herramienta para las matemáticas exactas y rigurosas. Los asistentes de prueba, por ejemplo, infunden confianza de que un argumento lógico es sólido y se han considerado todos los casos. Los programas pueden examinar incansablemente bibliotecas de combinaciones enormemente grandes, como las que subyacen en la prueba del teorema del mapa de cuatro colores en 1976.

Lo que parece sorprendente, sin embargo, es que los investigadores han utilizado cálculos numéricos para demostrar rigurosamente afirmaciones controvertidas sobre las soluciones de las ecuaciones de fluidos. En particular, los investigadores demostraron recientemente que las ecuaciones desarrolladas por Leonhard Euler para describir el flujo de fluidos tienen soluciones que “explotan”, lo que significa que algunas cantidades se vuelven infinitas en un tiempo finito.

Estas “singularidades” solo se ha demostrado que ocurren con condiciones iniciales cuidadosamente seleccionadas dentro de límites altamente simétricos. Sin embargo, saber que existen podría cambiar la forma en que los investigadores piensan sobre situaciones menos idealizadas. “Si no llegas exactamente a una singularidad, pero te acercas, tal vez eso signifique que el comportamiento del sistema es impredecible”, dijo Charles Fefferman, Profesor Universitario de Matemáticas Herbert E. Jones, Jr. ’43 en la Universidad de Princeton.

Además, los resultados recientes se pueden extender para aclarar el impacto de la fricción del fluido, o viscosidad, que se excluye en las ecuaciones de Euler pero se incluye en las ecuaciones de Navier-Stokes más realistas e importantes. Demostrar la existencia o imposibilidad de singularidades cuando hay viscosidad (y no hay límites) ganaría uno de los premios de un millón de dólares asociados con la resolución de alguno de los siete problemas matemáticos complejos conocidos como Problemas del Milenio por el Instituto Clay de Matemáticas.

Aunque los resultados de las ecuaciones de Euler aún no cumplen este desafío, podrían proporcionar pistas importantes sobre cómo lograrlo. También podrían inspirar a los matemáticos a demostrar las singularidades utilizando métodos analíticos tradicionales, que algunos consideran más satisfactorios.

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Buscando Singularidades

Los patrones de flujo de fluidos surgen del comportamiento simple a nivel local, en el que cada parcela de fluido responde a fuerzas como gradientes de presión. Un término crítico en las ecuaciones describe cómo la rotación interna del fluido, o vorticidad, se lleva junto con el fluido en movimiento. Debido a que este término de “estiramiento del vórtice” incluye tanto la velocidad como la rotación, es intrínsecamente no lineal, complicando en gran medida el comportamiento resultante. Aunque las ecuaciones son fáciles de escribir (Euler lo hizo en 1757), encontrar sus soluciones no lo es.

El objetivo es predecir cómo evolucionarán los fluidos a partir de cualquier condición inicial particular, que especifica la velocidad en cada punto del espacio en un tiempo de inicio. Las complejidades del flujo de fluidos rápidamente abruman la capacidad de los investigadores para describirlo analíticamente, pero las simulaciones por computadora han sido durante mucho tiempo un complemento importante para los experimentos.

Una pregunta importante pendiente, sin embargo, es si siempre hay una solución “globalmente regular” única que se comporte de manera adecuada para cualquier condición inicial. Hace unos años, Tarek Elgindi, un matemático de la Universidad de Duke, encontró una singularidad en un modelo simplificado. “Produjo una solución singular de la ecuación de Euler”, dijo Fetterman, “pero no es tan suave como uno desearía”.

De hecho, hace más de 20 años, algunos investigadores habían encontrado soluciones numéricas que parecían explotar. Sin embargo, utilizando cálculos más precisos, otros, incluido Thomas Hou del Instituto de Tecnología de California, demostraron que lo que parecían ser singularidades en realidad dejaban de explotar sin desarrollar infinitos.

Hace una década, sin embargo, Hou y su colega Luo Guo (ahora en la Universidad de Hang Seng de Hong Kong) mostraron signos numéricos más convincentes de una singularidad para las ecuaciones de Euler en una geometría cuidadosamente elegida. Estudiaron un fluido limitado por un contenedor cilíndrico perfectamente con bandas alternas de fluido que inicialmente fluyen en sentido horario y antihorario, que se encuentran en una línea circular en el límite.

El objetivo es predecir cómo evolucionarán los fluidos a partir de cualquier condición inicial particular, que especifica la velocidad en cada punto del espacio en un tiempo de inicio.

Alrededor de esta línea, los flujos opuestos inducen un flujo de rotación secundario que crece rápidamente. Es importante destacar que la simetría cilíndrica del contenedor y la simetría de espejo del flujo aseguran que las no linealidades que mejoran la vorticidad se concentren en la singularidad. La vorticidad parece volverse infinita en un tiempo finito, aunque la velocidad del fluido permanece finita.

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Prueba de Computadora

El trabajo reciente de Hou y su estudiante Jiajie Chen (ahora en el Courant Institute de la Universidad de Nueva York) se considera una prueba de que ocurren singularidades verdaderas en esta situación. Curiosamente, la prueba comienza con perfiles numéricos, aunque Hou señala que “una computadora nunca puede obtener una resolución infinita”.

No obstante, como explicó Fefferman, aunque la mayoría de los números no pueden representarse exactamente en una computadora, los cálculos pueden garantizar límites superiores e inferiores arbitrariamente ajustados en sus valores. Técnicas más sofisticadas también pueden asegurar que la representación de una función en la computadora esté tan cerca como sea necesario, en algún sentido elegido. “Puedes lidiar no solo con números, sino también con funciones en la computadora, y hacer afirmaciones que tengan un significado lógico preciso y realizar manipulaciones que estén garantizadas como correctas demostrablemente”.

La prueba requirió que la singularidad ocurriera a pesar de pequeñas desviaciones. “Es muy importante tener una computadora que te dé un perfil candidato”, dijo Hou, “Basado en eso, puedes hacer análisis”, examinando sistemáticamente funciones que están muy “cerca” del candidato.

De lo contrario, “La explosión puede tener algún modo inestable, lo que significa que puedes acercarte a ella pero es posible que no puedas llegar a la singularidad misma. Puede encontrar una forma de escapar”, dijo. “Hay alguna dirección inestable en la que una pequeña perturbación se alejará de la singularidad”. Los investigadores utilizaron repetidamente la computadora para confirmar que todas las rutas de escape estaban bloqueadas si las desviaciones son lo suficientemente pequeñas.

Es importante destacar que los investigadores realizaron el análisis de estabilidad en una versión reescalada del problema. Suponen que la variación espacial es casi la misma, excepto que la escala de longitud cambia como una potencia del tiempo restante hasta la singularidad. “Escalamos la simulación de tiempo finito a tiempo infinito en el dominio de tiempo reescalado y reescalamos en el espacio, de modo que tenemos un perfil suave”, dijo Hou, aunque las coordenadas en sí mismas son singulares. “El problema equivalente es mucho más fácil, porque el perfil se vuelve suave”.

No obstante, aunque muchas personas esperaban una singularidad para las ecuaciones de Euler, “Es muy difícil encontrar tal candidato”, dijo Hou. “Si elige aleatoriamente algunos datos iniciales suaves, casi con seguridad eso no explotará. Debes encontrar una condición muy especial para generar esta explosión autosemejante, sostenible y estable”.

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Más allá de los Límites

“Puedes pensar en estas coordenadas autosemejantes como una especie de desingularización de las singularidades”, dijo Tristan Buckmaster de la Universidad de Maryland, cuyo equipo también ha avanzado en la búsqueda de soluciones suaves. “Quieres demostrar que algo horrible sucede al demostrar que algo no horrible sucede”.

El reescalado depende de determinar el exponente preciso para la transformación. Buckmaster y sus colegas han estado utilizando “redes neuronales informadas por la física” para encontrar los valores discretos que permiten una solución suave.

A diferencia de las redes neuronales que sugieren iterativamente parámetros a un solucionador tradicional separado, en este caso “La red neuronal en sí misma es solo una representación no lineal de la función”, dijo Buckmaster. Además, “Sabemos mucho sobre cómo debería lucir la solución, por lo que podemos incorporarlo directamente en la red neuronal”, dijo, incluyendo simetrías, leyes de conservación y comportamiento asintótico. “Eso ayuda mucho”.

Buckmaster espera que sus métodos ayuden a identificar singularidades para el problema sin límites. “Los métodos numéricos tradicionales no son realmente útiles para encontrar estas soluciones”.

La solución de Hou y Chen “es un resultado fantástico. Lo resolvieron”, dijo Buckmaster. No obstante, dijo, “el objetivo no es tener un límite”, porque el flujo siempre tendrá una discontinuidad allí, que es donde se forma la singularidad. Buckmaster espera que sus métodos ayuden a identificar singularidades para el problema sin límites. “Los métodos numéricos tradicionales no son realmente útiles para encontrar estas soluciones”.

“Creo que hay una posibilidad seria de que uno de los equipos o ambos … encuentren una singularidad para las ecuaciones de Euler sin una pared”, dijo Fefferman. “Personalmente, creo que eso es al menos tan interesante como el problema de Clay [Navier-Stokes]”.

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Incluyendo Viscosidad

No obstante, las implicaciones para las soluciones de Navier-Stokes son sorprendentemente confusas. Después de haber resuelto el caso de Euler sin viscosidad, uno podría “esperar que si el coeficiente de fricción es realmente muy, muy pequeño pero no cero, las soluciones sean aproximadamente las mismas”, dijo Fefferman, e incluso hay un teorema demostrado que así debería ser. “Eso es muy, muy plausible, pero resulta que en el mundo real es absolutamente falso, o al menos eso parece”.

“Existe una efectividad irrazonable de una pequeña cantidad de fricción en el flujo de fluidos”, señaló Fefferman. Las singularidades podrían ayudar a resolver esta aparente paradoja, dijo, ya que después de la singularidad puede que realmente no haya una solución de las ecuaciones de Euler, aunque existen otras posibles resoluciones.

Buckmaster dijo que las singularidades dependen aún más de los límites cuando está presente la viscosidad. Si persisten o escapan depende del valor preciso del exponente de escala propia con viscosidad, que espera que sus redes neuronales sean especialmente buenas para encontrar.

La viscosidad también es fundamental en el importante fenómeno de la turbulencia, que resulta en una cascada de energía hacia remolinos a escalas cada vez más pequeñas, hasta que la viscosidad finalmente la convierte en calor. Aunque este proceso tiene una auto-similitud geométrica, tiende a dispersar la vorticidad en todo el fluido, en lugar de concentrarla, dijo Hou. “De hecho, la turbulencia tiende a destruir la singularidad”. No obstante, recientemente describió un escenario que lleva a singularidades algo diferentes en las ecuaciones de Navier-Stokes.

“Si las singularidades existen”, dijo Fefferman, “es posible que haya un conjunto de diferentes singularidades y que el trabajo actualmente emocionante simplemente esté descubriendo las más fáciles de describir”.

Lecturas adicionales

Chen, J. y Hou, T.Y. Estallido estable casi auto-similar de las ecuaciones de Boussinesq 2D y Euler 3D con datos suaves, https://arxiv.org/abs/2210.07191 (2022).

Cepelewicz, J. La prueba computacional ‘hace estallar’ las ecuaciones de fluidos centenarias, Quanta , 16 de noviembre de 2022, https://bit.ly/3ZAiXvU

Cepelewicz, J. El aprendizaje profundo está listo para ‘hacer estallar’ las famosas ecuaciones de fluidos, Quanta , 12 de abril de 2022, https://bit.ly/3YBmJns

El problema del milenio de Navier-Stokes, con una descripción oficial del problema por Charles Fefferman, Claymath.org , http://bit.ly/3l63PXV .

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Autor

Don Monroe es un escritor de ciencia y tecnología con sede en Middlebury, VT, EE. UU.

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