¿Cómo limita el principio de incertidumbre el análisis de series temporales?

¿Cómo afecta el principio de incertidumbre al análisis de series temporales?

Por qué no podemos extraer información precisa de tiempo y frecuencia de una serie temporal de manera mutua, y cómo el análisis de wavelet puede abordar esta limitación

Foto de Jamie Street en Unsplash

1. Introducción

La conexión entre la Transformada de Fourier, el Principio de Incertidumbre y el análisis de series temporales revela una interacción fascinante que da forma a la extracción de información temporal y frecuencial simultánea. Para comprender esta relación, es importante entender brevemente qué es una Transformada de Fourier (FT) y en qué consiste el principio de incertidumbre. Luego, exploramos la Transformada de Wavelet (WT) como una herramienta prometedora para esta limitación, revelando ocurrencias temporales de frecuencia específica con suficiente claridad.

1.1 Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier (FT) sirve como un puente matemático entre los dominios de tiempo y frecuencia de una función. Una FT se puede describir como:

No voy a entrar en detalle en esta integral, pero la parte importante es que una FT transforma la función f(x) en otra función g(ω) en el espacio de frecuencia. Guarda esa información para más adelante, será importante. (Para entender mejor la FT, recomiendo encarecidamente el video de 3Blue1Brow.)

1.2 Principio de Incertidumbre como consecuencia de la Transformada de Fourier

En 1927, el físico Werner Heisenberg introdujo lo que probablemente es uno de los conceptos más famosos de la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre [1]. El principio es básicamente un teorema sobre las Transformadas de Fourier, cuando dos funciones son una Transformada de Fourier de la otra, entra en juego el principio de incertidumbre.

Mientras dejamos momentáneamente de lado su intrincada física, consideremos solo la esencia: el producto de las incertidumbres en la posición x y el momento p está acotado. Esta limitación subraya el límite inherente en la medición de estas cantidades con precisión infinita (si estás interesado, echa un vistazo a este video).

Principio de Incertidumbre en el contexto de la Física.

¡Esto sucede porque la posición y el momento son una Transformada de Fourier el uno del otro! En el caso del análisis de series temporales, el análogo de la posición x y el momento p es la serie temporal en el espacio temporal t y de frecuencia ω, respectivamente.

Principio de Incertidumbre en el contexto del procesamiento de señales.

2. Convocando frecuencias con FT en series temporales

Una aplicación muy importante de la Transformada de Fourier es en el análisis de series temporales. Consideremos un escenario en el que necesitamos encontrar las frecuencias inherentes en la serie temporal. Por ejemplo, pensemos en discernir las frecuencias predominantes con las que las personas vuelven a ver un contenido dado. Por lo tanto, queremos transformar f(t) (una serie temporal) en g(ω), una función de las frecuencias, utilizando una FT.

2.1 Ejemplo

Para ejemplificar, usemos el conjunto de datos de Dióxido de Carbono Atmosférico Semanal de Mauna Loa [2].

Serie temporal semanal de CO2 atmosférico de Mauna Loa. Imagen del autor.

Eliminando la tendencia lineal para eliminar contribuciones falsas de baja frecuencia:

Serie de tiempo sin tendencia lineal. Imagen del autor.

Utilizando el algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT) para calcular la Transformada de Fourier:

Transformada de Fourier de la serie de tiempo. Imagen del autor.

Por lo tanto, es posible obtener la frecuencia que compone la serie, y en este caso se pueden observar dos picos distintos, uno anual y otro semestral. Esta es una visualización de la clara estacionalidad del conjunto de datos.

Sin embargo, los aspectos más interesantes ocurren cuando hay una perturbación en la serie de tiempo, que puede ser el impacto de un evento o una variable externa (por ejemplo, la erupción cercana de un volcán). Para simular esto, podemos tomar la misma serie más una adición de seno estocástico:

Serie de tiempo semanal de CO2 atmosférico en Mauna Loa sin tendencia lineal más una perturbación. Imagen del autor.

Aplicando la FFT para obtener la Transformada de Fourier de la serie:

Transformada de Fourier de la serie de tiempo perturbada. Imagen del autor.

Ahora, hay otro conjunto de picos entre 0.5 y 0.75 que es causado por la perturbación.

2.2 La limitación

A veces, queremos saber cuándo ocurrió el cambio de perturbación y frecuencia, o simplemente la ubicación temporal de cada frecuencia dentro de la serie. En nuestra simulación de la serie con y sin perturbación, está claro que la mayor parte del impacto está al comienzo de la serie. Sin embargo, una inspección visual de la serie combinada con información de la Transformada de Fourier no es suficiente para saber dónde ocurrió esa perturbación. Por lo tanto, necesitamos encontrar otra herramienta que nos ayude.

Sin embargo, la Transformada de Fourier (FT) tiene un compromiso: elimina la información temporal según el principio de incertidumbre, lo que nos deja sin saber cuándo se manifiestan estas frecuencias en la serie. Aquí es donde entra en juego el principio de incertidumbre. En lugar de buscar una precisión infinita en la frecuencia o el tiempo, podemos aprovechar el principio de incertidumbre, lo que nos permite obtener información sobre ambas cantidades con una resolución reducida, manteniendo un equilibrio.

3. La Transformada de Ondaleta como herramienta para el intercambio entre Tiempo y Frecuencia

La Transformada de Ondaleta (WT) surge como un acto de equilibrio de resolución, que transforma nuestra función f(t) en F(t,ω), una composición de tiempo y frecuencia. No entraré en detalles sobre cómo funciona la WT, pero, en resumen, el proceso de transformación utiliza una serie de ondaletas diferentes (señales con frecuencia y forma conocidas) para lograr una sincronización temporal con la serie de tiempo mediante el producto escalar de dos funciones. Por lo tanto, es posible tener una idea de la frecuencia y la ocurrencia temporal, pero con una resolución limitada en ambas cantidades.

Ejemplo de una señal de ondaleta de Morlet (es una señal compleja, por lo tanto, tiene una parte imaginaria y una parte real). Imagen del autor.

Para visualizar la transformada de ondícula de una señal, es común representar el eje x como la escala de tiempo y el eje y como la escala de frecuencia, y la escala de color como la Potencia de la frecuencia.

Para la serie temporal sin perturbaciones,

Transformada de Ondícula de la serie temporal semanal de CO2 atmosférico de Mauna Loa. Imagen del autor.

es posible ver claramente que la estacionalidad se repite a lo largo de los años como esperábamos mediante la inspección visual. Pero el pico enorme de la estacionalidad de 1 año de la FT ahora es más amplio, por lo que nuestra certeza sobre el valor disminuyó.

El análisis más interesante es para el escenario simulado.

Transformada de Ondícula de la serie temporal perturbada. Imagen del autor.

La TW muestra que la perturbación de baja frecuencia observada en la FT ocurre en los primeros años de la serie, con consecuencias significativas después de 20-25 años. Aunque la TW pierde resolución tanto en tiempo como en frecuencia, la nueva información sobre la ocurrencia de frecuencias es valiosa y capaz de responder una variedad de preguntas.

4. Conclusión

En resumen, el Principio de Incertidumbre impone una limitación fundamental en el análisis de series temporales, como revelan las limitaciones de la Transformada de Fourier. Si bien la Transformada de Fourier extrae eficientemente información de frecuencia de los datos de series temporales, sacrifica cualquier conocimiento de cuándo ocurren esas frecuencias. Por lo tanto, la Transformada de Ondícula es una herramienta útil que nos permite intercambiar resolución de tiempo y frecuencia para obtener información sobre la ocurrencia temporal de los componentes de frecuencia, aceptando un grado de incertidumbre inherente al principio.

Agradecimientos

Este increíble video de Artem Kirsanov me inspiró a escribir este artículo. Si deseas profundizar más en este tema, también recomiendo ver el video.

Observaciones

  • La Transformada de Fourier (FT) es super importante no solo para la mecánica cuántica y el análisis de series temporales. También se está utilizando en este mismo momento para almacenar los datos de este artículo en un servicio en la nube. Uno de los algoritmos más famosos y utilizados en la historia se llama Transformada Rápida de Fourier (FFT) y está detrás de prácticamente todas las técnicas de compresión de datos en la actualidad.
  • Para modelar matemáticamente la naturaleza de las partículas subatómicas, una Transformada de Fourier aparece de forma natural en la mecánica cuántica. Reflejando un cambio fundamental de perspectiva que el principio de incertidumbre aporta a nuestra comprensión de la naturaleza. Medir la posición de una partícula hace que pierdas información sobre la velocidad de esa misma partícula, y viceversa.

El cuaderno de este artículo está disponible aquí.

Referencias

[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre

[2] https://www.statsmodels.org/dev/datasets/generated/co2.html (dominio público)

[3] Transformada de ondícula (Wikipedia)

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